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Nouvelle preuve géométrique du théorème de Fermat

Nouvelle preuve géométrique du théorème de Fermat


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L’année dernière (2016), dans l’article intitulé «Révolution dans le théorème de Pythagore?», Le Dr Luis Teia a présenté la preuve du théorème de Pythagore en 3D. Cette année, Teia explique dans son récent article révisé par les pairs (février 2017), intitulé Théorème de Fermat - une vue géométrique publié dans le Journal of Mathematics Research, comment cette compréhension 3D du théorème de Pythagore a fourni la base géométrique pour prouver le dernier théorème de Fermat. Le dernier théorème de Fermat, également connu sous le nom de conjecture de Fermat, est plus que des triplets, il concerne la nature fondamentale d’un nombre entier et sa signification mathématique et géométrique. Cela pose la question philosophique: Qu'est-ce qu'une unité? Dans le langage des mathématiques, une unité est définie par le chiffre 1. Dans le langage de la géométrie, une unité est définie par un élément de longueur de côté un. La perspective d'un problème dépend du langage que nous utilisons pour l'observer, et un changement de perspective suffit souvent pour voir la solution.

Quel est le théorème de Fermat?

Le dernier théorème de Fermat questionne non seulement ce qu’est un triple, mais surtout ce qu’est un entier dans le contexte des équations de type Xn + Yn = Zn. L'image ci-dessous montre de manière picturale la différence entre le théorème de Pythagore et le dernier théorème de Fermat. Ces deux sont parfois confondus. Le dernier théorème de Fermat est une conjecture mathématique sur les nombres entiers, tandis que le théorème de Pythagore 3D est une preuve mathématique et géométrique des nombres réels. Le théorème de Pythagore en 1D est le principe de la sommation (c'est-à-dire X + Y = Z). Dans celui-ci, tous les nombres entiers forment des triplets [par exemple, 1 + 2 = 3 forme le triple 1D (1,2,3) tandis que 3 + 4 = 7 formes (3,4,7)]. Au milieu se trouve le théorème de Pythagore bien connu en 2D, où seuls quelques entiers forment des triplets [par exemple, 32+42=52 forme les triplets 2D (3,4,5)]. Le dernier théorème de Fermat déclare qu’aucun triplet ne peut être trouvé pour le théorème de Pythagore en 3D, ou pour toute dimension supérieure.

Le théorème de Pythagore en 1D, 2D et 3D, et le dernier théorème de Fermat [Source de l'image:Teia]

Le théorème de Pythagore 3D

Le théorème de Pythagore en 1D est régi par des lignes, tandis qu'en 2D par des carrés (voir image ci-dessous). Tout comme les carrés apparaissent naturellement lors de la transformation du théorème de Pythagore de 1D en 2D, les octaèdres apparaissent également naturellement lors de la transformation du théorème de Pythagore de 2D en 3D. Comme le montre le Dr Teia (dans son livre publié en 2015), le théorème de Pythagore 3D est régi par des octaèdres. Par conséquent, tout nombre (réel ou entier) dans le théorème de Pythagore est exprimable géométriquement par une ligne en 1D, un carré en 2D et un octaèdre en 3D. Comment cette notion géométrique affecte-t-elle notre compréhension des nombres entiers, et surtout des triplets?

Le théorème de Pythagore 1D, 2D et 3D [Source de l'image:]

Hypothèse

L'hypothèse de cette nouvelle preuve est qu'un triplet n'existe que si tous les éléments entiers à l'intérieur de ce triplet existent également [par exemple, 1, 2, 3 pour le triplet 1D (1,2,3), et 3, 4, 5 pour le 2D triple (3,4,5)]. À son tour, un élément entier ne sort que s'il obéit à deux conditions: il satisfait le théorème de Pythagore de la dimension respective (Condition 1), et il peut être complètement divisé en plusieurs scalaires unitaires (Condition 2). On peut donc émettre l'hypothèse que les éléments entiers n'existent pas si la condition 1 ou 2 n'est pas satisfaite. Par conséquent, si l'entier n'existe pas, alors les triplets associés n'existent pas non plus.

L'entier géométrique

Les entiers sont des multiples clairs d'une unité. La ligne unitaire, ou ligne de longueur 1, est le scalaire géométrique fondamental qui compose tous les éléments entiers de l'univers 1D de Pythagore. De même, le carré unitaire, ou carré du côté 1, est le scalaire géométrique fondamental qui compose tous les éléments entiers dans l’univers 2D de Pythagore. Généralement, on peut conclure que pour qu'un élément entier existe, il doit être complètement divisé en multiples du scalaire d'unité fondamentale particulier à cette dimension (c'est-à-dire, ligne unitaire en 1D ou unité carré en 2D). En 3D, malgré les octaèdres validant le théorème de Pythagore 3D (satisfaisant la condition 1), un octaèdre avec l'entier latéral N n'est pas un multiple d'octaèdres unitaires, car les tétraèdres apparaissent au milieu (voir figure ci-dessous à droite) [ne satisfaisant pas la condition 2] . Par conséquent, les entiers géométriques n’existent pas dans le domaine 3D du théorème de Pythagore, pas plus que leurs triplets. Cela satisfait le théorème de Fermat pour trois dimensions.

La définition géométrique des nombres entiers en 1D, 2D et non en 3D [Source de l'image:]

Dimensions supérieures

L'interdépendance géométrique entre les nombres entiers en 1D et 2D suggère que tous les nombres entiers de dimensions supérieures sont construits, et donc dépendants, des entiers de dimensions inférieures (par exemple, les carrés sont construits avec des lignes). Cette interdépendance couplée à l'absence d'entiers en 3D suggère qu'il n'y a pas d'entier au-dessus de n> 2, et donc il n'y a pas non plus de triplets qui satisfont Xn + Yn = Zn pour n> 2.

Conclusion

La solution géométrique de l’énigme de Fermat ne vient pas de la notion de triplets, mais plutôt de la notion d’entiers. Si les entiers n’existent pas, alors les triplets ne peuvent pas non plus exister. Hélas, le caractère insaisissable centenaire de la preuve résulte de l’utilisation répétée des «outils» disponibles, plutôt que d’inventer de nouveaux outils (le théorème de Pythagore 3D) pour trouver la solution. La simplicité de cette preuve géométrique (fondée sur l'absence d'entiers dans le domaine du théorème de Pythagore pour les dimensions au-dessus de 2D) nous amène à se demander si ce n'est pas la fameuse «solution élégante» dont parlait Fermat, dont il n'a laissé aucune autre enregistrements sauf une note écrite disant:

"J'ai découvert une preuve vraiment remarquable de ce théorème, que cette marge est trop petite pour contenir."

- Pierre de Fermat (1665)

Quant au Dr Luis Teia, son prochain défi sera d'expliquer la signification géométrique de la formule sur les partitions du mathématicien Srinivasa Ramanujan.

VOIR AUSSI: Révolution dans le théorème de Pythagore?


Voir la vidéo: la preuve de Fermat par 9, Petit théorème Fermat suite